ピック の 定理。 授業実践記録(数学)

ビックりする?! ピックの定理

この状態で、すべてのコップを一斉に真上へ持ち上げる。 分かってることは、高校数学の範囲内で回答すれば、何の問題もないという事。 この三角形を,(本当は名前がついていませんが)底辺垂直三角形,と名付けることにします。 赤の線 と 青の線 とではさまれた部分の面積を求めよ。 1 どんな図形も,何個かの三角形に分けることができる。 すなわち、 格子多角形Pが 2つの 格子多角形P 1と P 2に分割されるとき、 P=P 1+ P 2のように書くとすると、 F(P 1+ P 2)= F P 1)+ F(P 2) F(P 1- P 2)= F P 1)- F(P 2) が成り立つ。

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ビックりする?! ピックの定理

同じようにして,横の点の数は, 横-1 となります。 コップをあげる前後で図形上の水の量が同じというのは次のように考えればよい。 このとき、Aとb個の格子点を結んでb個の三角形を作る。 5 と表すことができました。 このとき、長方形 ADCE の内部および辺上には格 子点が (c+1)(d+1) 個ある。 5 となる。 任意の三角形は、3 つ以下の上記直角三角形および 1 つ以下の上記長方形を付加することにより、1 つの長方形にすることができる。

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ピックの定理

(補題3) 任意の格子直角形、格子直角三角形についてピックの定理が成り立つ。 いままでたくさん準備してきましたね。 はじめの三角形にはピックの定理が成り立ち,すぐとなりの三角形にもピックの定理が成り立つのですから, 2 で証明した通り,くっつけたあとの図形にも,ピックの定理は成り立ちます。 というのは,PとQをくっつけることによって,右の図の赤い辺どうしがくっつくことになり, 赤い辺の両端の2つのちょう点と,図のアアの部分の点の数のぶんだけ,まわりの点の数が少なくなってしまいます。 そして、それも想像だし、結論はだれもわからない。 下の図のように,1つのちょう点から対角線を引いていけば,何個かの三角形に分けることができます。 右の図で,内部の点の数は13個です。

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ピックの定理

5 となります。 上に述べたこの定理は、単純な多角形、つまり単一の図形であり穴が開いていないものにのみ適用可能であることに注意されたい。 こんな関係も成立するんですね! 割と包括的な文書 が見つかったので、さらに付け加えるべきことは余りないですね。 そこで、同定理が任意の三角形について成り立つことを示せば、により証明が完結する。 1 直角三角形の面積を表す式を作成する。

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ピックの定理

右の図のように,取り除かれる三角形を,P・Q・Rとします。 結論 検算に使うのは一向に構わないが、答案でそれを使うなら0点覚悟で使う事。 肯定している奴も、都合のいい例を持ち出して、想像で書いてるに過ぎない。 加法性を最大限に一般化した議論が見事で、額賀の定理の原証明 だと「すごく入りくんでいる形状で、1つの単位格子に何度も辺が出入りしている」場合に本当に見落としがないのかイマイチ確信が持てなかったのですが、その懸念が払拭できました。 関連項目 [ ]• 証明終 多角形を三角形に分割して計算する証明がオーソドックスのようですが、場合分けが多く発生してあまり好きになれませんでした。

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フナハシ学習塾数学54 ピックの定理

皆さん、出来たかな?) ピックの定理の結果は、あまりに唐突すぎるので、少し考察を加えよう。 5 ですから,次のようになります。 使う事を肯定する採点者、逆に否定する採点者のどちらがいてもおかしくない。 5 と表すことができました。 フナハシ学習塾数学54 ピックの定理 54 ピックの定理 方眼紙 ( ほうがんし )上の図形面積を求める 問題 方眼紙上に 中が三角形に切り取られた五角形の図形がある。 各格子点につき体積1の水を供給しているため、張っている水の高さは1となる。

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ピックの定理

ここで,取り除く部分の三角形は,直角三角形か,底辺が水平な三角形か,底辺垂直三角形かのいずれかであることが理解できると思います。 図の,斜線部分の長方形です。 余談ですが、ナチスの侵攻により、 テレージエンシュタット強制収容所に 送られ、亡くなった悲劇の数学者としても有名だったりします。 ・1目もりは1㎝でなければならない。 コップの水理論 まず、ここに載っていない証明として の末尾で引用されている「数学セミナー」2014年7月号の「コップの水」理論による説明は触れておく価値があると思います(なお実際の記事を見たところ、著者のオリジナルではなく、既存のもののアレンジ(元々のだとちょっと不備があった?)だということでした)。 定理自体も驚きなのですが、今回の証明方法自体にも驚いてしまうかもしれません。 (証明) まず、 格子長方形Pの場合、 横の長さを p、 縦の長さを qとします。

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大学入試問題

上記の図形をKとすれば、K上に収まる水の体積がKの面積を表す。 変更しても同じ意味であることを,よく見くらべて納得しましょう。 よって、Kの内部にある格子点の数を、a 個とすれば、その部分の面積は、a となる。 「コップを上げる前に、多角形の内部の上にある水の量」というのがわかりにくい方は、一時的にコップ内の水をゼリーのようなものと考え、コップをあげて 水ではないので流れずそのままの形で残り 、多角形の形に沿ってテーブルの真上から垂直に包丁をいれたときの、多角形の内部の上に乗っかっているゼリーの量、と考えるとよいかも。 小学生でもわかりやすい定理を1つご紹介。

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